\documentclass[12pt,a4paper]{annales}
\parskip=2mm
\begin{document}

\begin{center}

{\taille{14}\textbf{Session 2000}}

{\taille{16}\textbf{BACCALAUR\'EAT TECHNOLOGIQUE}}

\medskip
{\taille{16}\textbf{SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES}}

\medskip
{\taille{14}\textbf{Génie Mécanique BCDE -- Génie des matériaux}}

\bigskip
{\taille{14}\textbf{MATH\'EMATIQUES}}

\end{center} 

\textbf{Durée : 4 heures}\hfill
\textbf{Coefficient : 4}

\bigskip\bigskip
\textbf{Séries STI}

\qquad \textbf{- Génie Mécanique -- options :}\par
\qquad\qquad \textbf{Systèmes Motorisés (B), Structures Métalliques (C),}\par
\qquad\qquad \textbf{Bois et Matériaux Associés (D), Matériaux souples (E),}\par
\qquad \textbf{- Génie des Matériaux.}

\bigskip\bigskip\bigskip
\textbf{Dès que le sujet vous est rends assurez vous qu'il est complet, que toutes les pages sont imprimées.}

\bigskip\bigskip\bigskip
\textbf{L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.}\\
\textbf{Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.}\\
\textbf{Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.}

\bigskip\bigskip
\textbf{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.}\\
\textbf{Le sujet nécessite 2 feuilles de papier millimétré.}

\bigskip
\medskip
\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 4 pages (y compris celle-ci).}
\end{center}

\newpage

\textbf{EXERCICE 1 (5 points)}

\qst Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation suivante : $z^2-2z+4=0$.\\
On appellera $z_1$ la solution dont la partie imaginaire est positive et $z_2$ l'autre solution.
\qst Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O\,;\,\vec u\,,\,\vec v)$ d'unité graphique 2 cm.\\
On appelle $A_0$, $A_1$ et $A_2$ les points d'affixes respectives \par
\qquad\qquad\qquad $z_0=3+{\rm i}\sqrt{3}$,\par
\qquad\qquad\qquad $z_1=1+{\rm i}\sqrt{3}$,\par
\qquad\qquad\qquad $z_2=1-{\rm i}\sqrt{3}$.

\ssq Placer les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$ dans le plan complexe.
\ssq Démontrer que le triangle $A_0A_1A_2$ est rectangle.
\ssq En déduire le centre et le rayon du cercle $\Gamma$ passant par $A_0$, $A_1$ et $A_2$.


\bigskip\bigskip\numqst1
\textbf{EXERCICE 2 (5 points)}

Pour imiter la Française des jeux, un particulier crée un jeu de loterie instantanée pour lequel 500 tickets ont été imprimés.\\
Les tickets gagnants se répartissent de la manière suivante :

\medskip
\centerline{%
\begin{tabular}{|p{48mm}|p{93mm}|}\hline
\centering Nombre de tickets
&
\centering Somme en francs gagnée par ces tickets
\cr\hline
\centering 1
&
\centering 1000
\cr\hline
\centering 4
&
\centering 200
\cr\hline
\centering 5
&
\centering 100
\cr\hline
\centering 90
&
\centering 10
\cr\hline
\end{tabular}
}

\qst Calculer la probabilité qu'un ticket tiré au hasard soit un ticket gagnant.

\qst Le prix de vente du ticket est de 10 francs.\\
On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque ticket, associe son gain (en tenant compte des 10 francs d'achat : 
à chaque ticket gagnant 100 F, $X$ associe ainsi 90 F).
	\ssq Déterminer toutes les valeurs prises par $X$.
	\ssq Calculer la probabilité de l'événement $X=-10$.
	\ssq Déterminer la loi de probabilité associée à $X$.
	\ssq Calculer et interpréter l'espérance de $X$.


\newpage
\numqst1
\textbf{PROBL\`EME (10 points)}

\textbf{Partie A : \textit{Étude d'une fonction auxiliaire}.}

Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur ]1 ; $+\infty$[ par : 
$g(x)=1-\dfrac{x-1}{{\rm e}^x}$.

\qst Déterminer la valeur exacte de $g(2)$.

\qst Calculer la limite de la fonction $g$ en $1$.

\qstssq En remarquant que $g(x)=1-\dfrac{x}{{\rm e}^x}+\dfrac{1}{{\rm e}^x}$, calculer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.

\ssq Déduire de 3) a) que la courbe représentative de la fonction $g$ admet une asymptote horizontale en $+\infty$, dont on précisera une équation.

\qstssq On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$.
\ssq Étudier le signe de $g'(x)$ sur ]1 ; $+\infty$[.
\ssq Dresser le tableau de variation de $g$.
\ssq En déduire le signe de $g(x)$ sur ]1 ; $+\infty$[.\par
(On ne demande pas de tracer la courbe représentative de la fonction $g$).


\bigskip\numqst1
\textbf{Partie B : \textit{Étude d'une fonction et tracé de sa courbe représentative}.}

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur ]1 ; $+\infty$[ par :\\
\[f(x)=\dfrac{1}{{\rm e}^x}-\dfrac{1}{{\rm e}^2}+\ln(x-1).\]
On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O\,;\,\vec\imath,\,\vec\jmath)$, unité graphique 5 cm.

\qstssq Calculer la limite de la fonction $f$ en 1.\\
En déduire l'existence d'une asymptote $\Delta$ à la courbe $C$, dont on précisera une équation.
\ssq Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.

\qstssq On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
\ssq Montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x-1}$.
\ssq En déduire le sens de variation de $f$ sur ]1 ; $+\infty$[. Dresser le tableau de variation de $f$.

\qstssq Calculer $f(2)$.
\ssq Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $C$ dans le repère défini précédemment.

\newpage\numqst1
\textbf{Partie C : \textit{Calcul d'aire}.}

On considère la fonction numérique $F$ de la variable réelle $x$ définie sur ]1 ; $+\infty$[ par
\[F(x)=-\dfrac{1}{{\rm e}^x}+(x-1)\ln(x-1)-\left (1+\dfrac{1}{{\rm e}^2}\right )\,x.\]

\qst Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur ]1 ; $+\infty$[.

\qstssq On désigne par A l'aire en cm$^2$ de la partie de plan limitée par la courbe $C$, l'axe des abscisses, les droites d'équation $x=2$ et $x=3$.\\
Déterminer la valeur exacte de A.

\ssq Donner une valeur de A en cm$^2$ à $10^{-2}$ près.

\end{document}